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第1章 函数与极限1

1.1 函数1

1.1.1 函数的概念1

1.1.2 函数的基本性质4

1.1.3 反函数5

1.1.4 初等函数6

1.1.5 其他类型的函数11

习题1.114

1.2 数列极限15

1.2.1 数列极限的定义15

1.2.2 收敛数列的性质17

习题1.218

1.3 函数极限19

1.3.1 自变量趋于无穷大时函数的极限19

1.3.2 自变量趋于有限值时函数的极限20

1.3.3 函数极限的性质22

习题1.324

1.4 无穷小量与无穷大量24

1.4.1 无穷小量24

1.4.2 无穷大量26

1.4.3 极限运算法则26

习题1.429

1.5 两个重要极限30

1.5.1 极限存在的两个准则30

1.5.2 两个重要极限32

习题1.535

1.6 无穷小量的比较36

习题1.638

1.7 函数的连续性39

1.7.1 函数连续的概念39

1.7.2 函数的间断点41

1.7.3 连续函数的性质初等函数的连续性42

1.7.4 闭区间上连续函数的性质44

习题1.746

第1章 总习题47

第2章 导数与微分49

2.1 导数的概念49

2.1.1 导数的定义49

2.1.2 利用定义求导举例52

2.1.3 函数可导性与连续性的关系54

习题2.155

2.2 函数的求导法则56

2.2.1 导数的四则运算法则56

2.2.2 反函数的求导法则58

2.2.3 复合函数的求导法则59

2.2.4 隐函数的求导法则61

2.2.5 由参数方程确定的函数的导数62

习题2.263

2.3 高阶导数65

习题2.369

2.4 函数的微分69

2.4.1 微分的概念70

2.4.2 微分基本公式与运算法则72

2.4.3 微分在近似计算中的应用73

习题2.475

第2章 总习题76

第3章 微分中值定理与导数的应用78

3.1 微分中值定理78

3.1.1 罗尔定理78

3.1.2 拉格朗日中值定理79

3.1.3 柯西中值定理81

3.1.4 泰勒公式82

习题3.184

3.2 洛必达法则85

3.2.1 0/0与∞/∞型未定式85

3.2.2 其他类型未定式88

习题3.289

3.3 函数的单调性与曲线的凹凸性89

3.3.1 函数的单调性89

3.3.2 曲线的凹凸性91

习题3.393

3.4 函数的极值与最大值、最小值94

3.4.1 函数的极值94

3.4.2 函数的最大值与最小值97

习题3.499

3.5 函数图形的描绘100

3.5.1 曲线的渐近线100

3.5.2 函数图形的描绘102

习题3.5104

3.6 导数在经济学中的应用104

3.6.1 边际分析104

3.6.2 弹性分析106

习题3.6109

第3章 总习题109

第4章 不定积分112

4.1 不定积分的概念与性质112

4.1.1 原函数的概念112

4.1.2 不定积分的概念113

4.1.3 不定积分的性质115

4.1.4 基本积分公式115

习题4.1117

4.2 换元积分法118

4.2.1 第一类换元法118

4.2.2 第二类换元法123

习题4.2128

4.3 分部积分法129

习题4.3133

4.4 有理函数的积分133

4.4.1 有理函数的积分133

4.4.2 可化为有理函数的积分137

习题4.4139

4.5 积分表的使用140

习题4.5141

第4章 总习题142

第5章 定积分及其应用145

5.1 定积分的概念与性质145

5.1.1 引例145

5.1.2 定积分的定义146

5.1.3 定积分的性质149

习题5.1151

5.2 微积分基本公式152

5.2.1 可变上限定积分及其导数152

5.2.2 牛顿－莱布尼茨公式154

习题5.2157

5.3 定积分的换元积分法和分部积分法158

5.3.1 定积分的换元积分法158

5.3.2 定积分的分部积分法161

习题5.3163

5.4 广义积分与Γ函数164

5.4.1 积分区间为无限的广义积分164

5.4.2 被积函数为无界的广义积分166

5.4.3 Γ函数168

习题5.4169

5.5 定积分的应用170

5.5.1 定积分的元素法170

5.5.2 平面图形的面积171

5.5.3 体积174

5.5.4 经济学、生物学等方面的应用实例175

习题5.5177

5.6 定积分的近似计算178

5.6.1 矩形法178

5.6.2 梯形法179

习题5.6180

第5章 总习题180

第6章 多元函数微积分183

6.1 空间解析几何简介183

6.1.1 空间直角坐标系183

6.1.2 空间曲面185

习题6.1187

6.2 多元函数的极限与连续188

6.2.1 区域188

6.2.2 多元函数概念189

6.2.3 二元函数的极限190

6.2.4 二元函数的连续性190

习题6.2192

6.3 偏导数193

6.3.1 偏导数的概念193

6.3.2 高阶偏导数195

习题6.3196

6.4 全微分197

6.4.1 全微分的概念与存在条件197

6.4.2 全微分在近似计算中的应用199

习题6.4199

6.5 多元复合函数与隐函数的求导法则200

6.5.1 多元复合函数的求导法则200

6.5.2 多元隐函数的求导法则201

6.5.3 全微分形式不变性203

习题6.5204

6.6 多元函数的极值及其应用205

6.6.1 多元函数的极值205

6.6.2 条件极值207

6.6.3 多元函数的最大值与最小值209

习题6.6210

6.7 二重积分211

6.7.1 二重积分的概念与性质211

6.7.2 二重积分的计算213

习题6.7221

第6章 总习题223

第7章 微分方程与差分方程225

7.1 微分方程的基本概念225

习题7.1228

7.2 可分离变量的微分方程229

7.2.1 可分离变量的微分方程229

7.2.2 齐次微分方程232

习题7.2234

7.3 一阶线性微分方程235

习题7.3238

7.4 可降阶的高阶微分方程239

7.4.1 y(n)＝f(x)型的微分方程239

7.4.2 y″＝f(x,y′)型的微分方程240

7.4.3 y″＝f(y,y′)型的微分方程241

习题7.4242

7.5 高阶线性微分方程242

7.5.1 二阶线性微分方程解的结构242

7.5.2 二阶常系数齐次线性微分方程244

7.5.3 二阶常系数非齐次线性微分方程247

习题7.5250

7.6 差分方程的基本概念251

7.6.1 差分的概念与性质252

7.6.2 差分方程的概念253

习题7.6253

7.7 常系数线性差分方程254

7.7.1 一阶常系数线性差分方程254

7.7.2 二阶常系数线性差分方程257

习题7.7259

第7章 总习题259

第8章 无穷级数261

8.1 常数项级数261

8.1.1 级数敛散性概念261

8.1.2 收敛级数的基本性质263

习题8.1265

8.2 常数项级数敛散性判别方法266

8.2.1 正项级数敛散性判别方法266

8.2.2 交错项级数敛散性判别方法270

8.2.3 任意项级数的绝对收敛与条件收敛271

习题8.2272

8.3 幂级数273

8.3.1 函数项级数的概念273

8.3.2 幂级数及其收敛域274

8.3.3 幂级数的运算277

习题8.3279

8.4 函数的幂级数展开279

8.4.1 泰勒级数279

8.4.2 函数展开成幂级数280

习题8.4285

第8章 总习题285

第9章 高等数学实验287

9.1 MATLAB操作基础287

9.1.1 MATLAB桌面平台287

9.1.2 MATLAB帮助系统290

9.1.3 MATLAB的基本命令与函数290

9.1.4 MATLAB的数值计算292

9.1.5 MATLAB的程序设计295

9.2 基于MATLAB的高等数学实验300

9.2.1 求极限300

9.2.2 求导数301

9.2.3 泰勒级数逼近计算器302

9.2.4 二维与三维图像描绘302

9.2.5 非线性方程求根307

9.2.6 求积分309

9.2.7 求解微分方程311

9.3 数学建模案例314

附录一 常用三角函数公式320

附录二 希腊字母表321

附录三 积分表322

部分习题答案与提示331