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第1章 函数与极限1

1.1 集合与实数系1

1.1.1 集合1

1.1.2 映射2

1.1.3 实数系4

习题1.15

1.2 函数6

1.2.1 函数6

1.2.2 函数的几种特性8

1.2.3 反函数9

1.2.4 复合函数10

1.2.5 基本初等函数11

1.2.6 初等函数13

1.2.7 双曲函数和反双曲函数13

习题1.213

1.3 数列的极限14

1.3.1 数列极限的定义14

1.3.2 收敛数列的性质18

1.3.3 收敛数列的运算20

习题1.321

1.4 数列极限存在的条件21

1.4.1 夹挤收敛准则21

1.4.2 有界收敛准则22

1.4.3 柯西收敛准则25

1.4.4 实数系的完备性26

习题1.426

1.5 函数的极限27

1.5.1 自变量趋向有限值时函数的极限27

1.5.2 自变量趋向无穷大时函数的极限30

1.5.3 函数极限的性质32

1.5.4 函数极限的运算32

习题1.534

1.6 函数极限存在的条件35

1.6.1 函数极限收敛准则35

1.6.2 两个重要极限37

习题1.641

1.7 无穷小与无穷大41

1.7.1 无穷小41

1.7.2 无穷大43

1.7.3 无穷小的比较45

习题1.749

1.8 连续函数50

1.8.1 函数的连续性50

1.8.2 函数的间断点51

1.8.3 连续函数的运算54

1.8.4 初等函数的连续性55

习题1.857

1.9 闭区间上连续函数的性质58

1.9.1 一致连续性58

1.9.2 有界性61

1.9.3 介值性62

习题1.964

第2章 导数与微分66

2.1 导数的概念66

2.1.1 导数的定义66

2.1.2 导数的几何意义70

2.1.3 几个基本初等函数的导数公式70

2.1.4 导函数的介值定理72

习题2.173

2.2 求导法则74

2.2.1 函数四则运算的求导法则74

2.2.2 反函数的求导法则76

2.2.3 复合函数的求导法则77

2.2.4 基本初等函数导数公式81

习题2.281

2.3 高阶导数82

2.3.1 高阶导数的定义82

2.3.2 基本初等函数的n阶导数公式83

习题2.385

2.4 隐函数与参数式函数的求导法则85

2.4.1 隐函数的导数85

2.4.2 参数方程表示的函数的导数88

2.4.3 相关变化率90

习题2.492

2.5 微分93

2.5.1 微分的定义93

2.5.2 微分基本公式和运算法则95

2.5.3 微分的近似计算97

2.5.4 微分在近似计算中的应用98

2.5.5 高阶微分98

习题2.599

第3章 微分中值定理及其应用101

3.1 拉格朗日中值定理和函数单调性101

3.1.1 罗尔中值定理101

3.1.2 拉格朗日中值定理102

3.1.3 函数单调性的判定法105

习题3.1108

3.2 柯西中值定理和洛必达法则110

3.2.1 柯西中值定理110

3.2.2 洛必达法则111

习题3.2116

3.3 泰勒公式118

3.3.1 带有佩亚诺型余项的泰勒公式118

3.3.2 带有拉格朗日余项的泰勒公式121

3.3.3 泰勒公式在近似计算中的应用123

习题3.3124

3.4 函数的极值与最大值最小值125

3.4.1 极值的判别定理125

3.4.2 最大值最小值问题128

习题3.4130

3.5 函数的凸性与拐点130

3.5.1 曲线凹凸性130

3.5.2 曲线的拐点及其求法132

习题3.5134

3.6 函数图像的描绘134

3.6.1 渐近线的概念134

3.6.2 函数作图135

习题3.6138

3.7 曲率138

3.7.1 弧微分138

3.7.2 曲率的概念140

3.7.3 曲率的计算公式141

习题3.7143

3.8 方程的近似解144

3.8.1 求方程近似解的条件144

3.8.2 求方程近似解的方法144

习题3.8146

第4章 不定积分147

4.1 不定积分的概念与性质147

4.1.1 原函数与不定积分147

4.1.2 不定积分的性质148

4.1.3 基本积分公式（一）149

习题4.1150

4.2 换元积分法151

4.2.1 第一换元积分法（凑微分法）151

4.2.2 第二换元积分法154

4.2.3 简单无理函数的积分157

习题4.2158

4.3 分部积分法159

4.3.1 分部积分法公式159

4.3.2 各种类型函数的分部积分法159

习题4.3161

4.4 有理函数积分法162

4.4.1 有理函数的积分162

4.4.2 三角函数有理式的积分166

习题4.4168

4.5 积分表的使用168

习题4.5169

第5章 定积分171

5.1 定积分的概念与性质171

5.1.1 定积分的定义171

5.1.2 可积的必要条件173

习题5.1175

5.2 函数可积的条件175

5.2.1 达布和175

5.2.2 可积的充分条件177

5.2.3 可积函数类178

习题5.2180

5.3 定积分的性质181

5.3.1 定积分的基本性质181

5.3.2 定积分的不等式182

5.3.3 定积分的中值定理184

习题5.3185

5.4 微积分基本定理186

5.4.1 积分上限的函数186

5.4.2 牛顿-莱布尼茨公式189

5.4.3 更一般条件下的牛顿-莱布尼茨公式190

习题5.4191

5.5 定积分的换元法和分部法192

5.5.1 定积分的换元积分法192

5.5.2 定积分的分部积分法197

习题5.5199

5.6 广义积分201

5.6.1 无穷区间上连续函数的广义积分201

5.6.2 有限区间上无界函数的广义积分204

习题5.6207

5.7 广义积分的审敛法Γ函数208

5.7.1 无穷限广义积分的审敛法208

5.7.2 无界函数的广义积分的审敛法211

5.7.3 Γ函数212

习题5.7214

第6章 定积分的应用215

6.1 定积分的元素法215

6.2 定积分在几何上的应用216

6.2.1 平面图形的面积216

6.2.2 平行截面面积已知的立体的体积220

6.2.3 旋转体的体积222

6.2.4 平面曲线的弧长225

6.2.5 定积分应用部分的综合题226

习题6.2227

6.3 定积分在物理上的应用229

6.3.1 液体的侧压力问题229

6.3.2 变力做功的问题230

6.3.3 其他应用问题231

习题6.3232

第7章 空间解析几何与向量代数234

7.1 向量及其线性运算234

7.1.1 空间直角坐标系234

7.1.2 向量的线性运算236

7.1.3 向量的坐标表示237

习题7.1240

7.2 向量的乘积241

7.2.1 向量的数量积241

7.2.2 向量的向量积243

7.2.3 向量的混合积246

习题7.2247

7.3 平面及其方程247

7.3.1 平面的点法式方程247

7.3.2 平面的一般式方程249

7.3.3 点到平面的距离251

习题7.3252

7.4 空间直线及其方程252

7.4.1 直线的方程252

7.4.2 直线和直线的位置关系254

7.4.3 平面束方程257

习题7.4258

7.5 空间曲面及其方程259

7.5.1 球面259

7.5.2 旋转面259

7.5.3 柱面261

7.5.4 二次曲面263

习题7.5265

7.6 空间曲线及其方程265

7.6.1 空间曲线的一般方程265

7.6.2 空间曲线的参数方程266

7.6.3 空间曲面在坐标平面上的投影区域267

习题7.6270

习题参考答案271

附录Ⅰ 几种常用的曲线303

附录Ⅱ 积分表306