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第1章 函数、极限与连续1

1.1 映射与函数1

1.1.1 集合1

1.1.2 映射3

1.1.3 函数的概念4

1.1.4 初等函数8

1.1.5 极坐标简介9

习题1.111

1.2 数列的极限12

1.2.1 数列极限的概念12

1.2.2 收敛数列的性质15

习题1.217

1.3 函数的极限18

1.3.1 函数的极限的定义18

1.3.2 函数极限的性质22

习题1.323

1.4 无穷小与无穷大24

1.4.1 无穷小及其性质24

1.4.2 无穷大25

习题1.427

1.5 极限的运算法则27

1.5.1 极限的四则运算法则27

1.5.2 复合函数的极限运算法则30

习题1.531

1.6 极限存在的准则与两个重要极限32

1.6.1 极限存在的准则Ⅰ32

1.6.2 极限存在的准则Ⅱ35

习题1.638

1.7 无穷小的比较39

习题1.742

1.8 函数的连续性与间断点42

1.8.1 函数的连续性42

1.8.2 函数的间断点45

1.8.3 连续函数的和、差、积、商的连续性47

1.8.4 反函数与复合函数的连续性47

1.8.5 初等函数的连续性49

习题1.851

1.9 闭区间上连续函数的性质51

1.9.1 最大值与最小值51

1.9.2 零点定理与介值定理52

习题1.953

综合练习154

第2章 导数与微分57

2.1 导数的定义57

2.1.1 引例57

2.1.2 导数的概念59

2.1.3 导数的几何意义62

2.1.4 函数可导性与连续性的关系62

习题2.162

2.2 函数求导法则63

2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则63

2.2.2 反函数的求导法则64

2.2.3 复合函数的求导法则65

2.2.4 基本求导法则与导数公式67

习题2.268

2.3 高阶导数69

2.3.1 高阶导数的定义69

2.3.2 高阶导数的计算方法69

习题2.371

2.4 隐函数及由参数方程确定的函数的导数71

2.4.1 隐函数的导数71

2.4.2 由参数方程确定的函数的导数73

习题2.475

2.5 函数的微分75

2.5.1 微分的定义75

2.5.2 微分的几何意义77

2.5.3 基本初等函数的微分公式与微分计算法则78

2.5.4 微分在近似计算中的应用80

习题2.582

综合练习282

第3章 微分中值定理与导数的应用84

3.1 微分中值定理84

3.1.1 罗尔定理84

3.1.2 拉格朗日中值定理85

3.1.3 柯西中值定理87

习题3.188

3.2 洛必达法则89

习题3.291

3.3 泰勒公式91

习题3.395

3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性95

3.4.1 函数单调性的判定法95

3.4.2 函数的凹凸性与拐点97

习题3.499

3.5 函数的极值与最大最小值100

3.5.1 函数的极值与求法100

3.5.2 最大最小值问题102

习题3.5104

3.6 函数图形的描绘104

习题3.6107

3.7 曲率107

3.7.1 弧微分107

3.7.2 曲率及计算公式108

3.7.3 曲率圆与曲率半径110

习题3.7111

综合练习3111

第4章 不定积分113

4.1 不定积分的概念与性质113

4.1.1 原函数与不定积分的概念113

4.1.2 基本积分表115

4.1.3 不定积分的性质116

习题4.1117

4.2 换元积分法118

4.2.1 第一类换元法118

4.2.2 第二类换元法122

习题4.2125

4.3 分部积分法126

习题4.3129

4.4 有理函数和可化为有理函数的积分129

4.4.1 代数的预备知识130

4.4.2 有理函数的不定积分131

4.4.3 可化为有理函数的积分举例133

习题4.4135

综合练习4135

第5章 定积分137

5.1 定积分的概念与性质137

5.1.1 定积分问题举例137

5.1.2 定积分的定义139

5.1.3 按照定义计算定积分140

5.1.4 定积分的几何意义141

5.1.5 定积分的性质141

习题5.1144

5.2 微积分基本公式145

5.2.1 积分上限函数145

5.2.2 定积分的基本公式146

习题5.2148

5.3 定积分的换元法和分部积分法149

5.3.1 定积分的换元法149

5.3.2 定积分的分部积分法152

习题5.3154

5.4 反常积分155

5.4.1 无穷限的反常积分155

5.4.2 无界函数的反常积分157

习题5.4159

5.5 定积分的应用159

5.5.1 定积分的元素法159

5.5.2 定积分在几何学上的应用161

习题5.5165

综合练习5166

第6章 空间解析几何与向量代数167

6.1 向量及其线性运算167

6.1.1 向量的概念167

6.1.2 向量的线性运算168

6.1.3 空间直角坐标系170

6.1.4 利用坐标作向量的线性运算171

6.1.5 向量的模、方向角、投影171

习题6.1173

6.2 数量积与向量积173

6.2.1 两向量的数量积173

6.2.2 两向量的向量积174

习题6.2176

6.3 平面及其方程176

6.3.1 平面的点法式方程176

6.3.2 平面的一般方程177

6.3.3 两平面的夹角178

6.3.4 点到平面的距离179

习题6.3179

6.4 空间直线及其方程180

6.4.1 空间直线的对称式方程与参数方程180

6.4.2 空间直线的一般方程181

6.4.3 空间两直线的夹角181

6.4.4 直线与平面的夹角182

习题6.4183

6.5 曲面及其方程183

6.5.1 曲面方程的概念183

6.5.2 旋转曲面184

6.5.3 柱面185

6.5.4 常见的二次曲面186

习题6.5188

6.6 空间曲线及其方程188

6.6.1 空间曲线的一般方程188

6.6.2 空间曲线的参数方程189

6.6.3 空间曲线在坐标面上的投影190

习题6.6191

综合练习6191

第7章 多元函数微分学193

7.1 多元函数的极限与连续性193

7.1.1 平面点集193

7.1.2 多元函数的概念194

7.1.3 多元函数的极限195

7.1.4 多元函数的连续性196

习题7.1198

7.2 偏导数199

7.2.1 偏导数的概念及其计算199

7.2.2 高阶偏导数201

习题7.2202

7.3 全微分203

7.3.1 全微分的概念203

7.3.2 全微分在近似计算中的应用205

习题7.3206

7.4 多元复合函数的求导法则206

7.4.1 多元复合函数的微分206

7.4.2 全微分的形式不变性210

习题7.4210

7.5 隐函数的求导公式211

7.5.1 一个方程的情形211

7.5.2 方程组的情形212

习题7.5214

7.6 多元函数微分学的几何应用214

7.6.1 空间曲线的切线与法平面214

7.6.2 曲面的切平面与法线217

习题7.6219

7.7 方向导数与梯度219

7.7.1 方向导数219

7.7.2 梯度221

习题7.7223

7.8 多元函数的极值及其求法223

7.8.1 多元函数的极值与最值223

7.8.2 条件极值——拉格朗日乘数法226

习题7.8228

综合练习7228

第8章 常微分方程简介229

8.1 常微分方程的基本概念229

8.1.1 常微分方程和偏微分方程229

8.1.2 线性微分方程和非线性微分方程230

8.1.3 微分方程的解230

习题8.1230

8.2 一阶常微分方程的初等解法231

8.2.1 变量可分离的微分方程231

8.2.2 一阶线性微分方程与常数变易法233

8.2.3 恰当微分方程与积分因子235

习题8.2238

8.3 高阶常系数线性微分方程239

8.3.1 n阶线性微分方程解的结构239

8.3.2 常系数齐次线性微分方程240

8.3.3 常系数非齐次线性微分方程241

习题8.3243

综合练习8243

第9章 多元函数积分学244

9.1 二重积分的概念与性质244

9.1.1 二重积分的概念244

9.1.2 二重积分的性质246

习题9.1247

9.2 二重积分的计算248

9.2.1 直角坐标系下二重积分的计算248

9.2.2 二重积分的变量变换252

习题9.2255

9.3 三重积分257

9.3.1 三重积分的概念257

9.3.2 三重积分的计算257

习题9.3263

9.4 曲面的面积264

9.4.1 利用曲面的一般方程求曲面的面积264

9.4.2 利用曲面的参数方程求曲面的面积265

习题9.4266

9.5 曲线积分266

9.5.1 对弧长的曲线积分266

9.5.2 对坐标的曲线积分270

9.5.3 两类曲线积分之间的关系274

习题9.5275

9.6 格林公式及其应用276

9.6.1 格林公式276

9.6.2 平面上曲线积分与路径无关的条件280

9.6.3 全微分方程283

习题9.6285

9.7 曲面积分287

9.7.1 对面积的曲面积分287

9.7.2 对坐标的曲面积分290

9.7.3 两类曲面积分之间的联系295

习题9.7297

9.8 高斯公式与斯托克斯公式298

9.8.1 高斯公式298

9.8.2 斯托克斯公式300

习题9.8302

综合练习9302

第10章 无穷级数304

10.1 常数项级数的概念与性质304

10.1.1 常数项级数的概念304

10.1.2 收敛级数的基本性质306

习题10.1307

10.2 常数项级数的收敛法308

10.2.1 正项级数及其收敛法308

10.2.2 交错级数及其收敛法313

10.2.3 绝对收敛与条件收敛314

习题10.2315

10.3 幂级数316

10.3.1 函数项级数的概念316

10.3.2 幂级数及其收敛性317

10.3.3 幂级数的运算320

习题10.3322

10.4 函数展开成幂级数322

10.4.1 泰勒级数322

10.4.2 函数展开成幂级数的方法324

习题10.4328

综合练习10328

参考文献330