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第一章 引言1

1.1 实数连续统1

a.自然数系及其扩充.计数和度量2

b.实数和区间套7

c.十进小数.其他进位制9

d.邻域的定义13

e.不等式13

1.2 函数的概念18

a.映射——图形20

b.连续变量的函数概念的定义.函数的定义域和值域23

c.函数的图形表示.单调函数26

d.连续性31

e.中间值定理.反函数46

1.3 初等函数49

a.有理函数49

b.代数函数50

c.三角函数51

d.指数函数和对数函数52

e.复合函数.符号积.反函数54

1.4 序列57

1.5 数学归纳法58

1.6 序列的极限63

a.an=1/n63

b.a2m=1/m;a2m-1=1/2m64

c.an=n/n+165

d.an=?p66

e.an=an67

f.an 和？p的极限之几何解释68

g.几何级数70

h.an=?n72

i.an=?n+1-?n72

j.an=n/an,其中 a＞173

1.7 再论极限概念73

a.收敛和发散的定义73

b.极限的有理运算75

c.内在的收敛判别法.单调序列76

d.无穷级数及求和符号78

e.数 e81

f.作为极限的数π84

1.8 连续变量的函数的极限概念85

a.初等函数的一些注记90

补篇92

S1 极限和数的概念93

a.有理数94

b.有理区间套序列定义实数95

c.实数的顺序、极限和算术运算97

d.实数连续统的完备性.闭区间的紧致性.收敛判别法则100

e.最小上界和最大下界103

f.有理数的可数性104

S2 关于连续函数的定理105

S3 极坐标108

S4 关于复数的注记109

问题112

第二章 积分学和微分学的基本概念127

2.1 积分128

a.引言128

b.作为面积的积分129

c.积分的分析定义.表示法131

2.2 积分的初等实例136

a.线性函数的积分136

b.x2 的积分138

c.xa 的积分(a是不等于-1的整数)139

d.xa 的积分(a是不等于-1的有理数)142

e.sinx 和 cosx 的积分143

2.3 积分的基本法则145

a.可加性145

b.函数之和的积分.函数与常数乘积的积分146

c.积分的估值148

d.积分学中值定理149

2.4 作为上限之函数的积分——不定积分152

2.5 用积分定义对数154

a.对数函数的定义154

b.对数的加法定理156

a.数 e 的对数159

2.6 指数函数和幂函数159

b.对数函数的反函数.指数函数160

c.作为幂的极限的指数函数162

d.正数的任意次幂的定义162

e.任何数为底的对数163

2.7 x 的任意次幂的积分164

2.8 导数165

a.导数与切线166

b.作为速度的导数172

c.微分法举例174

d.一些基本的微分法则176

e.函数的可微性和连续性177

f.高阶导数及其意义180

g.导数和差商.莱布尼兹表示法182

h.微分学中值定理184

i.定理的证明186

j.函数的线性近似.微分的定义190

k.关于在自然科学中的应用的一点评述195

2.9 积分、原函数和微积分基本定理196

a.不定积分的导数196

b.原函数及其与积分的关系198

c.用原函数计算定积分201

d.例202

补篇 连续函数的定积分的存在性204

问题207

第一部分 初等函数的微分和积分214

3.1 最简单的微分法则及其应用214

a.微分法则214

第三章 微分法和积分法214

b.有理函数的微分法217

c.三角函数的微分法218

3.2 反函数的导数219

a.一般公式219

b.n 次幂的反函数：n 次根222

c.反三角函数——多值性224

d.相应的积分公式228

a.定义230

e.指数函数的导数与积分230

3.3 复合函数的微分法230

b.链式法则231

c.广义微分学中值定理235

3.4 指数函数的某些应用236

a.用微分方程定义指数函数237

b.连续复利.放射性蜕变237

c.物体被周围介质冷却或加热239

d.大气压随地面上的高度的变化239

e.化学反应过程241

f.电路的接通或切断241

a.分析的定义242

3.5 双曲函数242

b.加法定理和微分公式245

c.反双曲函数246

d.与三角函数的其他相似性248

3.6 最大值和最小值问题250

a.曲线的下凸和上凸250

b.最大值和最小值——极值问题.平稳点252

3.7 函数的量阶263

a.量阶的概念.最简单的情形263

b.指数函数与对数函数的量阶264

c.一点注记267

d.在一点的邻域内函数的量阶267

e.函数趋向于零的量阶268

f.量阶的“O”和“o”表示法269

附录271

A1 一些特殊的函数272

a.函数 y=e-1/x2272

b.函数 y=e-1/x273

c.函数 y=tanh 1/x274

d.函数 y＝x tanh1/x275

e.函数 y=xsin1/x，y(0)=0275

A2 关于函数可微性的注记276

第二部分积分法278

3.8 初等积分表280

a.换元公式.复合函数的积分281

3.9 换元法281

b.换元公式的另一种推导方法286

c.例.积分公式287

3.10 换元法的其他实例288

3.11 分部积分法292

a.一般公式292

b.分部积分的其他例子294

c.关于 f(b)+f(a)的积分公式296

d.递推公式296

e.π的瓦里斯无穷乘积298

3.12 有理函数的积分法300

a.基本类型301

b.基本类型的积分303

c.部分分式304

d.分解成部分分式举例.待定系数法307

3.13 其他几类函数的积分法310

a.圆和双曲线的有理表示法初阶310

b.R(cosx，sinx)的积分法312

c.R(coshx，sinhx)的积分法314

d.R(x，？1-x2)的积分法314

e.R(x，？x2-1)的积分法314

f.R(x，？x2+1)的积分法315

g.R(x，？ax2+2bx+c)的积分法315

h.化为有理函数积分的其他例子316

i.注记317

第三部分 积分学的进一步发展318

3.14 初等函数的积分318

a.用积分定义的函数.椭圆积分和椭圆函数318

b.关于微分和积分321

3.15 积分概念的推广321

a.引言.广义积分的定义321

b.无穷间断的函数323

c.作为面积的解释325

d.收敛判别法325

e.无穷区间上的积分327

f.伽玛函数329

g.狄里克莱积分330

h.变量置换.菲涅耳积分332

3.16 三角函数的微分方程333

a.关于微分方程的初步说明333

b.由微分方程和初始条件定义的 sinx 和 cosx334

问题336

第四章 在物理和几何中的应用349

4.1 平面曲线理论349

a.参数表示349

b.参数变换351

c.沿曲线的运动.时间作为参量.摆线的例子352

d.曲线的分类.定向357

e.导数.切线和法线的参数表示367

f.曲线的长度371

g.弧长作为参数376

h.曲率378

i.坐标轴变换.不变量384

j.狭义相对论中的匀速运动386

k.表示闭曲线内部面积的积分389

l.质量中心和曲线的矩397

m.旋转曲面的面积和体积398

n.惯性矩399

4.2 例400

a.普通摆线400

c.椭圆和双纽线402

b.悬链线402

4.3 二维向量403

a.用平移定义向量.记号404

b.向量的加法和乘法408

c.变向量及其导数和积分416

d.对平面曲线的应用.方向，速度和加速度417

4.4 在给定力作用下质点的运动420

a.牛顿运动定律421

b.落体运动422

c.约束在给定曲线上的质点的运动423

4.5 受到空气阻力的自由落体运动426

4.6 最简单的一类弹性振动——弹簧的运动428

a.微分方程和它的解429

4.7 在给定曲线上的运动429

b.沿一曲线下滑的质点431

c.运动的讨论433

d.普通摆434

c.圆滚摆435

4.8 引力场中的运动437

a.牛顿万有引力定律437

b.绕引力中心的圆周运动438

c.径向运动——逃逸速度440

4.9 功和能442

a.力在运动中所作的功442

b.功和动能.能量守恒444

c.两个质点间的相互引力445

d.弹簧的拉伸447

e.电容器充电447

附录447

A.1 法包线的性质447

A.2 闭曲线包围的面积.指数454

问题458

第五章 泰勒展开式463

5.1 引言:幂级数463

5.2 对数和反正切的展开式465

a.对数函数465

b.反正切函数467

5.3 泰勒定理468

a.多项式的泰勒表示469

b.非多项式函数的泰勒公式469

5.4 余项的表示式及其估计470

a.柯西和拉格朗日余项470

b.泰勒公式的另一种推导法474

5.5 初等函数的展开式477

a.指数函数477

b.sinx，cosx，sinhx，coshx 的展开式478

c.二项式级数479

5.6 几何应用482

a.曲线的接触482

b.关于相对极大值和相对极小值的理论485

附录Ⅰ486

A.Ⅰ.1 不能展成泰勒级数的函数的例486

A.Ⅰ.2 函数的零点和无限点487

a.n 阶零点487

b.v 阶无限488

A.Ⅰ.3 不定式488

A.Ⅰ.4 各阶导数都不为负的函数的泰勒级数的收敛性491

附录Ⅱ 插值法495

A.Ⅱ.1 插值问题.唯一性495

A.Ⅱ.2 解的构造.牛顿插值公式496

A.Ⅱ.3 余项的估计499

A.Ⅱ.4 拉格朗日插值公式502

问题503

第六章 数值方法506

6.1 积分的计算506

a.矩形近似公式507

b.改进的近似式——辛卜生法则508

6.2 数值方法的另一些例515

a.“误差计算”515

b.π的计算518

c.对数的计算519

6.3 方程的数值解法520

a.牛顿法521

b.假位法524

c.迭代法525

d.迭代与牛顿程序528

附录530

A.1 斯特林公式530

问题534

第七章 无穷和与无穷乘积536

7.1 收敛与发散的概念537

a.基本概念537

b.绝对收敛与条件收敛539

c.项的重新排列543

d.无穷级数的运算546

7.2 绝对收敛和发散的判别法546

b.与几何级数相比较的收敛判别法547

a.比较判别法.控制级数547

c.与积分相比较550

7.3 函数序列553

a.函数与曲线序列的极限过程553

7.4 一致收敛与不一致收敛555

a.一般说明和定义555

b.一致收敛的一个判别法561

c.连续函数的一致收敛级数之和的连续性562

d.一致收敛级数的积分563

e.无穷级数的微分法565

7.5 幂级数566

a.幂级数的收敛性质——收敛区间567

b.幂级数的积分法和微分法569

c.幂级数的运算570

d.展开式的唯一性571

e.解析函数572

7.6 给定函数的幂级数展开式.待定系数法.例573

a.指数函数573

b.二项式级数574

c.arcsinx 的级数576

d.ar sinhx＝1og［x+?(1+x2)］的级数576

e.级数乘法的例577

f.逐项积分的例(椭圆积分)577

a.在幂级数中引进复数项.三角函数的复数表示式578

7.7 复数项幂级数578

b.复变函数一般理论一瞥580

附录582

A.1 级数的乘法和除法582

a.绝对收敛级数的乘法582

b.幂级数的乘法和除法583

A.2 无穷级数与广义积分584

A.3 无穷乘积586

A.4 含有伯努利数的级数589

问题591

第八章 三角级数600

a.一般说明.函数的周期开拓601

8.1 周期函数601

b.一个周期上的积分602

c.谐振603

8.2 谐振的迭加605

a.谐波.三角多项式605

b.拍610

8.3 复数表示法611

a.一般说明611

b.交流电上的应用612

c.三角多项式的复数表示法614

d.一个三角公式615

8.4 傅立叶级数616

a.傅立叶系数616

b.基本引理618

c.∫∞0sinz/z dz=π/2的证明619

d.函数？(x)=x 的傅立叶展式621

e.关于傅立叶展开的主要定理624

8.5 傅立叶级数的例629

a.预先说明629

b.函数φ(x)=x2的展开式629

c.xcosx 的展开式630

d.函数f(x)=?x631

e.一个分段常数函数632

f.函数?sinx?633

g.cosμx 的展开式.余切分解为部分分式.正弦的无穷乘积633

h.进一步的例635

8.6 收敛性的进一步讨论636

a.结果636

b.贝塞耳不等式636

c.推论(a),(b)和(c)的证明637

d.傅立叶系数的量阶.傅立叶级数的微分法640

8.7 三角多项式和有理多项式的近似法641

a.关于函数表示法的一般说明641

b.外尔斯特拉斯逼近定理641

c.按算术平均值的傅立叶多项式的费叶尔三角近似式643

d.在平均意义下的逼近和巴色瓦关系式645

附录Ⅰ648

A.Ⅰ.1 周期区间的伸缩变换.傅立叶积分定理648

A.Ⅰ.2 非连续点上的吉布斯现象650

A.Ⅰ.3 傅立叶级数的积分652

附录Ⅱ654

A.Ⅱ.1 伯努利多项式及其应用654

a.定义及傅立叶展式654

b.生成函数；三角余切和双曲余切的泰勒级数657

c.欧拉-马克劳林求和公式660

d.应用.渐近表达式662

e.幂级数的和；伯努利数的递推公式664

f.欧拉常数和斯特林级数665

问题668

a.简单的机械振动671

9.1 力学和物理学的振动问题671

第九章 关于振动的最简单类型的微分方程671

b.电的振荡672

9.2 齐次方程的解法.自由振动673

a.形式解673

b.解的诠释676

c.满足给定的初始条件.解的唯一性676

9.3 非齐次方程.强迫振动678

a.一般说明.叠加法678

b.非齐次方程的解法679

c.共振曲线681

d.振动的进一步讨论683

e.关于记录仪器构造的说明685