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第一篇 复变函数理论1

第1章 复数和复变函数1

1.1复数及其运算1

1.2复变函数3

1.3解析函数6

1.4解析函数的物理意义13

1.5初等解析函数15

第2章 复变函数的积分19

2.1复积分的概念与性质19

2.2柯西积分定理21

2.3柯西积分公式24

第3章 复变函数的级数29

3.1复数项级数的基本性质29

3.2幂级数32

3.3解析函数的泰勒级数展开36

3.4解析函数的洛朗级数展开40

3.5孤立奇点和无穷远点44

3.6解析延拓和Г函数49

第4章 留数理论及其应用53

4.1留数和留数定理53

4.2留数的计算55

4.3应用留数理论计算实变函数定积分59

4.4应用留数理论计算实变函数无穷积分61

第二篇 积分变换理论65

第5章 傅里叶变换65

5.1完备正交函数集65

5.2傅里叶级数67

5.3傅里叶积分和傅里叶变换75

5.4 δ函数及其傅里叶积分82

第6章 拉普拉斯变换87

6.1运算法87

6.2拉普拉斯变换的概念89

6.3拉普拉斯变换的性质91

6.4拉普拉斯变换的逆变换93

第7章Z变换100

7.1 Z变换的概念100

7.2 Z变换的性质103

7.3逆Z变换105

7.4 Z变换的应用108

第三篇 数学物理方程与特殊函数理论112

第8章 数学物理方程导出与定解理论112

8.1数学物理方程导出112

8.2定解条件122

8.3数学物理方程定解理论129

8.4二阶线性偏微分方程分类130

第9章 行波法136

9.1二阶线性偏微分方程的通解和行波解136

9.2达朗贝尔公式138

9.3泊松公式142

9.4纯强迫振动147

9.5推迟势151

第10章 分离变量法154

10.1一维波动方程的分离变量法154

10.2一维热传导方程的分离变量158

10.3二维和三维问题的分离变量161

10.4圆域上二维拉普拉斯方程的分离变量165

10.5非齐次方程与非齐次边界条件169

第11章 正交曲线坐标系中的分离变量177

11.1正交曲线坐标系177

11.2正交曲线坐标系中的分离变量181

第12章 常微分方程的级数解法及特殊函数理论189

12.1常微分方程的级数解法189

12.2常点邻域上的级数解193

12.3勒让德多项式的性质199

12.4连带勒让德多项式205

12.5球函数及其性质208

12.6正则奇点邻域上的级数解211

12.7贝塞尔函数的性质217

12.8贝塞尔方程本征值问题222

12.9虚宗量贝塞尔函数227

12.10球贝塞尔函数229

12.11施图姆-刘维尔型方程与本征值问题232

第13章 柱坐标系和球坐标系中的分离变量解法237

13.1拉普拉斯方程定解问题求解237

13.2输运方程定解问题求解249

13.3波动方程定解问题求解260

第14章 积分变换法265

14.1傅里叶变换法解数学物理定解问题265

14.2拉普拉斯变换法解数学物理定解问题270

第15章 格林函数法274

15.1无界问题的格林函数274

15.2泊松方程边值问题的格林函数法284

15.3电像法与狄利克雷问题的格林函数288

15.4有限空间中含时间的格林函数293

第16章 保角变换法296

16.1保角变换与拉普拉斯方程边值问题的关系296

16.2常用的保角变换298

习题参考答案305

参考文献320