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第8章 向量代数与空间解析几何1

8.1 空间直角坐标系1

8.1.1 空间直角坐标系的建立1

8.1.2 点的坐标的确定2

8.1.3 空间中两点间的距离3

习题8.14

8.2 向量及其线性运算4

8.2.1 向量的概念4

8.2.2 向量的加法5

8.2.3 向量的减法6

8.2.4 向量与数的乘法7

8.2.5 线性运算的抽象化8

习题8.29

8.3 向量的坐标表达式10

8.3.1 向径的坐标表达式10

8.3.2 一般向量的坐标表达式11

8.3.3 向量线性运算的坐标表达形式12

8.3.4 向量的模与方向余弦13

8.3.5 向量在轴上的投影15

习题8.316

8.4 向量的乘积16

8.4.1 两个向量的数量积16

8.4.2 两个向量的向量积19

习题8.422

8.5 平面及其方程23

8.5.1 平面的点法式方程23

8.5.2 平面的一般式方程24

8.5.3 平面的截距式方程26

8.5.4 两平面的夹角及两平面垂直或平行的条件28

8.5.5 点到平面的距离29

习题8.530

8.6 空间直线及其方程31

8.6.1 空间直线的一般式方程31

8.6.2 空间直线的对称式方程与参数方程32

8.6.3 两直线的夹角及两直线的平行或垂直的条件35

8.6.4 直线与平面的夹角及直线与平面平行或垂直的条件36

习题8.637

8.7 曲面及其方程38

8.7.1 曲面的方程39

8.7.2 球面及其方程40

8.7.3 旋转曲面及其方程40

8.7.4 柱面及其方程43

习题8.745

8.8 空间曲线及其方程46

8.8.1 空间曲线的一般方程46

8.8.2 空间曲线的参数方程48

8.8.3 空间曲线在坐标平面上的投影49

习题8.851

8.9 二次曲面52

8.9.1 椭球面52

8.9.2 椭圆锥面54

8.9.3 单叶双曲面54

8.9.4 双叶双曲面54

8.9.5 椭圆抛物面55

8.9.6 双曲抛物面55

习题8.956

8.10 综合例题选讲56

综合练习869

第9章 多元函数微分学71

9.1 多元函数的基本概念71

9.1.1 区域71

9.1.2 二元函数的概念73

9.1.3 二元函数的极限75

9.1.4 二元函数的连续性76

习题9.178

9.2 偏导数80

9.2.1 偏导数的概念80

9.2.2 偏导数的计算81

9.2.3 偏导数的几何意义82

9.2.4 偏导数的经济意义83

9.2.5 高阶偏导数84

习题9.286

9.3 全微分87

9.3.1 全微分的概念87

9.3.2 可微分的条件88

9.3.3 全微分在近似计算中的应用90

习题9.391

9.4 复合函数微分法91

9.4.1 全导数91

9.4.2 多个自变量复合的情形92

9.4.3 全微分形式的不变性95

9.4.4 复合函数的高阶偏导数96

习题9.497

9.5 隐函数的微分法98

9.5.1 一个方程确定的隐函数98

9.5.2 方程组确定的隐函数100

习题9.5103

9.6 方向导数与梯度103

9.6.1 方向导数103

9.6.2 梯度106

习题9.6108

9.7 多元函数微分学在几何上的应用109

9.7.1 空间曲线的切线和法平面109

9.7.2 曲面的切平面与法线113

习题9.7115

9.8 多元函数的极值115

9.8.1 二元函数极值的概念115

9.8.2 二元函数极值存在的必要条件116

9.8.3 二元函数极值存在的充分条件117

9.8.4 最大值与最小值118

习题9.8120

9.9 最小二乘法120

习题9.9122

9.10 约束最优化问题123

9.10.1 约束最优化问题的提法123

9.10.2 拉格朗日乘数法124

习题9.10128

综合练习9129

第10章 重积分131

10.1 二重积分131

10.1.1 二重积分的引入131

10.1.2 二重积分的定义133

10.1.3 二重积分的性质134

习题10.1135

10.2 二重积分的计算136

10.2.1 二重积分在直角坐标系中的计算136

10.2.2 二重积分在极坐标系中的计算141

习题10.2144

10.3 三重积分146

10.3.1 三重积分的定义及性质146

10.3.2 三重积分在直角坐标系中的计算147

10.3.3 三重积分在柱面坐标系中的计算151

10.3.4 三重积分在球面坐标系中的计算153

习题10.3154

10.4 重积分的应用156

10.4.1 二重积分在几何上的应用156

10.4.2 二重积分在物理上的应用159

习题10.4164

10.5 典型例题选讲164

综合练习10169

第11章 曲线积分与曲面积分172

11.1 对弧长的曲线积分172

11.1.1 对弧长的曲线积分的概念与性质172

11.1.2 对弧长的曲线积分的计算174

习题11.1176

11.2 对坐标的曲线积分177

11.2.1 对坐标的曲线积分的概念与性质177

11.2.2 对坐标的曲线积分的计算法181

11.2.3 两类曲线积分的关系185

习题11.2186

11.3 格林公式及其应用187

11.3.1 格林公式187

11.3.2 平面上曲线积分与路径无关的条件191

11.3.3 二元函数的全微分求积193

习题11.3196

11.4 对面积的曲面积分198

11.4.1 对面积的曲面积分的概念198

11.4.2 对面积的曲面积分的计算法199

习题11.4201

11.5 对坐标的曲面积分201

11.5.1 有向曲面的概念201

11.5.2 对坐标的曲面积分的概念202

11.5.3 对坐标的曲面积分的计算206

11.5.4 两类曲面积分之间的联系209

习题11.5211

11.6 高斯公式与斯托克斯公式212

11.6.1 高斯公式212

11.6.2 斯托克斯公式217

11.6.3 空间曲线积分与路径无关的条件221

习题11.6222

11.7 场论初步223

11.7.1 场的概念223

11.7.2 梯度场224

11.7.3 散度场224

11.7.4 旋度场226

习题11.7228

综合练习11230

第12章 无穷级数232

12.1 常数项级数232

12.1.1 常数项级数的概念232

12.1.2 级数的基本性质235

习题12.1237

12.2 常数项级数收敛性判别238

12.2.1 正项级数审敛准则238

12.2.2 任意项级数审敛法则243

习题12.2246

12.3 幂级数247

12.3.1 函数项级数的概念247

12.3.2 幂级数及其收敛性248

12.3.3 幂级数收敛半径与收敛区间250

12.3.4 幂级数的运算性质252

习题12.3253

12.4 函数展开成幂级数254

12.4.1 泰勒级数254

12.4.2 函数展开成幂级数257

12.4.3 函数的幂级数展开式在近似计算中的应用261

习题12.4264

12.5 傅里叶级数265

12.5.1 三角级数、正交函数系265

12.5.2 以2π为周期的函数的傅里叶级数266

12.5.3 以2l为周期的函数的傅里叶级数268

习题12.5271

12.6 有限区间上函数的傅里叶展开式272

12.6.1 在［-π，π］上函数的傅里叶展开式272

12.6.2 在［-l,l］上函数的傅里叶展开式274

12.6.3 在［0，π］或［0,l］上函数展成正弦级数或余弦级数275

习题12.6279

综合练习12281

参考答案283

参考文献296