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第1章 群论1

1.1 集合与映射1

1.1.1 集合的概念1

1.1.2 集合的运算2

1.1.3 映射3

1.1.4 偏序集与Zorn引理5

1.1.5 集合的分类与等价关系8

1.1.6 集合的基数9

习题1.114

1.2 半群与群16

1.2.1 半群16

1.2.2 半群的基本性质16

1.2.3 群19

1.2.4 半群为群的等价条件20

习题1.221

1.3 子群与陪集22

1.3.1 子群定义及其性质22

1.3.2 生成子群23

1.3.3 元素的周期24

1.3.4 子群的陪集25

习题1.328

1.4 循环群与变换群及群的同构29

1.4.1 循环群29

1.4.2 群的同构29

1.4.3 变换群32

习题1.437

1.5 正规子群与商群38

1.5.1 正规子群38

1.5.2 商群40

习题1.543

1.6 群同态与同态基本定理44

1.6.1 群同态44

1.6.2 群的同态基本定理及同构定理46

1.6.3 群的自同态与自同构50

习题1.650

1.7 群的直积51

1.7.1 群的外直积51

1.7.2 群的内直积53

1.7.3 群的外直积与内直积的一致性54

1.7.4 多个群的外直积与内直积54

习题1.756

第2章 环与域58

2.1 环的定义与基本性质58

2.1.1 环和域的定义58

2.1.2 环的基本性质60

2.1.3 整环和除环62

习题2.164

2.2 子环、理想与商环66

2.2.1 子环66

2.2.2 理想68

2.2.3 商环70

习题2.271

2.3 环的同态与同态基本定理72

2.3.1 环的同态73

2.3.2 同态的基本性质74

2.3.3 环同态基本定理75

2.3.4 扩环定理75

习题2.376

2.4 素理想与极大理想、分式环77

2.4.1 素理想78

2.4.2 极大理想78

2.4.3 分式环80

习题2.484

2.5 环的特征与素域85

2.5.1 环的特征85

2.5.2 素域86

习题2.587

2.6 环的直和88

2.6.1 环的外直和88

2.6.2 环的内直和88

2.6.3 任意多个环的直积与直和91

2.6.4 中国剩余定理93

习题2.694

第3章 交换环的因子分解理论96

3.1 唯一分解环96

3.1.1 素元与既约元96

3.1.2 唯一因子分解环98

3.1.3 公因子100

习题3.1101

3.2 主理想环与欧氏环102

3.2.1 主理想环102

3.2.2 欧氏环104

习题3.2105

3.3 多项式环105

3.3.1 多项式环与未定元106

3.3.2 唯一分解环上的多项式109

3.3.3 因式分解与多项式的根112

习题3.3115

第4章 群的进一步讨论117

4.1 群在集合上的作用117

4.1.1 群在集合上作用的定义117

4.1.2 轨道与稳定子群118

4.1.3 伯恩赛德引理120

习题4.1121

4.2 p-群与西罗定理122

4.2.1 p-群123

4.2.2 西罗定理124

习题4.2126

4.3 有限交换群127

4.3.1 有限交换群的结构127

4.3.2 有限生成阿贝尔群131

习题4.3134

4.4 幂零群与可解群135

4.4.1 幂零群135

4.4.2 可解群137

4.4.3 正规序列和亚正规序列138

习题4.4142

第5章 模论144

5.1 模的定义与基本性质144

5.1.1 左模144

5.1.2 双模146

习题5.1146

5.2 子模与模同态147

5.2.1 子模147

5.2.2 子模的和与直和149

5.2.3 同态152

5.2.4 子模格与模的自同态环153

习题5.2155

5.3 模同态的基本定理、模的直积与直和157

5.3.1 模同态的基本定理157

5.3.2 模的直积与直和160

5.3.3 模的同态正合列164

习题5.3166

5.4 本质子模与多余子模、合成列167

5.4.1 本质子模与多余子模167

5.4.2 模的合成列171

习题5.4173

5.5 加补与交补、半单模173

5.5.1 加补与交补173

5.5.2 半单模176

习题5.5178

5.6 根与基座179

5.6.1 模的根与基座179

5.6.2 阿廷模与诺特模183

习题5.6187

5.7 自由模、投射模与内射模189

5.7.1 自由模189

5.7.2 投射模与内射模191

5.7.3 投射模的对偶基引理193

5.7.4 内射模的贝尔判别法195

习题5.7196

5.8 投射盖与内射包197

5.8.1 可除阿贝尔群197

5.8.2 模的内射扩张199

5.8.3 模的投射盖与内射包201

习题5.8203

5.9 有限生成模和有限余生成模204

5.9.1 有限生成模与有限余生成模的特征204

5.9.2 主理想环上的有限生成模206

习题5.9209

第6章 环的进一步理论211

6.1 单环与本原环211

6.1.1 单环211

6.1.2 本原环213

习题6.1218

6.2 环的Jacobson根218

6.2.1 拟正则元与拟正则理想218

6.2.2 Jacobson根221

习题6.2224

6.3 半单环225

6.3.1 半单环的定义与性质225

6.3.2 Jacobson半单环229

6.3.3 半单环与Jacobson半单环的关系231

习题6.3234

6.4 局部环234

6.4.1 局部环的等价条件234

6.4.2 不可分解模236

6.4.3 模的直和分解237

习题6.4242

6.5 阿廷环与诺特环242

6.5.1 诺特环242

6.5.2 诺特环和阿廷环上的内射模244

6.5.3 阿廷环和诺特环的刻画246

习题6.5248

第7章 域论250

7.1 扩域250

7.1.1 扩域的定义与性质250

7.1.2 单扩域253

7.1.3 代数扩域256

习题7.1257

7.2 分裂域259

7.2.1 分裂域及其性质259

7.2.2 单个多项式的分裂域260

7.2.3 一般的多项式集合的分裂域261

习题7.2264

7.3 尺规作图——古希腊三大几何问题265

7.3.1 问题的引入265

7.3.2 问题的解答266

习题7.3268

7.4 有限域269

7.4.1 有限域的性质269

7.4.2 有限域的构造270

习题7.4271

7.5 超越基272

7.5.1 代数无关与超越基272

7.5.2 超越扩域与超越次数275

习题7.5277

第8章 伽罗瓦理论279

8.1 伽罗瓦理论的基本定理279

8.1.1 伽罗瓦扩域279

8.1.2 基本定理281

习题8.1287

8.2 正规扩域与代数扩域、代数基本定理288

8.2.1 可离扩域288

8.2.2 正规扩域290

8.2.3 代数基本定理292

习题8.2294

8.3 多项式的伽罗瓦群295

8.3.1 多项式的伽罗瓦群的定义和性质295

8.3.2 四次多项式的伽罗瓦群299

8.3.3 伽罗瓦群计算例子301

习题8.3305

8.4 纯不可离扩域306

8.4.1 纯不可离扩域及其性质306

8.4.2 域的可离次数和纯不可离次数309

习题8.4312

8.5 迹与范数313

8.5.1 迹与范数及其性质313

8.5.2 迹与范数同伽罗瓦群的联系315

习题8.5319

8.6 循环扩域320

8.6.1 循环扩域及其性质320

8.6.2 循环扩域的构造322

习题8.6325

8.7 分圆扩域326

8.7.1 分圆扩域及其性质326

8.7.2 有理数域上的分圆扩域328

习题8.7329

8.8 根扩域331

8.8.1 根扩域及其性质331

8.8.2 根扩域上的伽罗瓦群333

习题8.8337

8.9 一般n次代数方程337

8.9.1 对称有理函数337

8.9.2 一般n次代数方程的公式求解340

习题8.9345

参考文献346

索引347